简介
- 灰色预测的主要特点是模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列。
- 其核心体系是灰色模型（Grey Model， GM），即对原始数据做累加生成（或其他方法生成）得到近似的指数规律再进行建模的方法。
- 灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律，及异常情况发生的时刻等进行估计预测及进一步研究。
优点
- 不需要很多数据，一般只需要4个数据，就可以解决历史数据少、序列的完整性及可靠性低的问题。
- 能利用微分方程来充分挖掘系统的本质，精度高。
- 能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序列，运算简便，易于检验，不考虑分布规律，不考虑变化趋势。
缺点
- 只适用于中短期的预测。
- 只适用于指数增长的预测。
GM(1, 1)模型
- 适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，对于非单调的摆动发展序列或有饱和的S形序列，得考虑GM(2, 1)、DGM(2, 1)、Verhulst模型。
- z^(1)^(k)：背景值
- a、b为待定系数，t为时间
- a：主要控制系统发展趋势，被称为==发展系数==。
- b：b的大小反映数据的变化的关系，被称为==灰色作用量==。
提高精度的办法
法1、采用GM(1, 1)新陈代谢
- 首先采用原始序列建立一个GM(1, 1)模型，按正常方法求出一个预测值，然后将该预测值补入已知数列中，同时去掉一个旧的数据；在此基础上再建立GM(1, 1)模型，求出下一个预测值，以此类推，通过利用预测灰数的新陈代谢，逐个预测，依次递补，可以得到之后几期的数据，对原始数据数量进行有效扩充。
数据的检验与处理
GM(1, 1)模型的建立
背景值与其改进、求解
还原的==预测值==为：
模型评估
- 根据预测模型求得的预测值进行模型精度残差检验、相对误差、后验差检验。
残差检验
- 通过计算残差和相对误差，检验判断误差变动是否平稳。
残差
式子中，k=1，2，…，n，
算的值。
相对误差
后验差检验
原始序列方差
根据计算所得的C和P值可确定模型的精度，见下表：
| 精度等级 | A（好） | B（合格） | C（勉强） | D（不合格） |
|---|---|---|---|---|
| 后验差比值C | C <= 0.35 | C <= 0.5 | C <= 0.65 | C > 0.65 |
| 小误差概率P | P >= 0.95 | P >= 0.8 | P >= 0.7 | 0.7 > P |
- 若精度不和要求，可以用残差序列建立GM(1, 1)模型对原模型进行修正，以提高其精度。
引用&&参考
- [1]杨国华,颜艳,杨慧中.GM(1,1)灰色预测模型的改进与应用[J].南京理工大学学报,2020,44(05):575-582.DOI:10.14177/j.cnki.32-1397n.2020.44.05.010.
GM(1,n)模型
GM(2, 1)模型
DGM模型
Verhulst模型
- 主要用来描述具有饱和状态的过程，即S形过程，常用于人口预测、生物生长、繁殖预测及产品经济寿命预测等。
